スワップ派のためのFXポートフォリオ 入門編
03. ランダムさについて調べる
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目次
3-1. ランダムさの尺度 その１
3-2. ランダムさの尺度 その２
3-3. ランダムさの尺度 その３
3-1. ランダムさの尺度 その１
いよいよランダムさの性質を調べてみましょう。
下の２つのグラフを見てください。
図1：グラフ１
図2：グラフ２
グラフ１，２とも、ランダムな数値ですが性質が異なることは一目瞭然です。
グラフ１は、-1と1をそれぞれ確率50％でランダムに100回発生させたものです。
グラフ２は、平均を０となるようにして、あるルールに従って乱数を100回発生させたものです。-3～3位の間で色々な大きさの数値があることが分かります。
為替の日次リターンはどちらの乱数に性質が近いでしょうか？
2-1.同じに見えるでUSDJPYの例を示しましたようにグラフ２ですね。
(pips または tickのレベルでみればグラフ１のようになりますが、グラフ１とグラフ２の関係はちょっと難しいので、ここでは話題に上げません。)
図2：グラフ２のようなタイプの乱数で、ある種類の乱数は非常に扱いやすくとても便利なのです。
そのため、ポートフォリオ理論では、資産(為替)のリターンも、図2の乱数と同じような性質を持つものとして扱います(正規乱数といいます)。
追記１)
グラフ１のような乱数を累積してゆくとグラフ２のような性質をもつ乱数に近づいてゆきます。そのために、tickレベルではグラフ１のような動きが、日次ではグラフ２のようになります。
追記２)
為替リターンは、実際には正規乱数(正規分布の乱数)とはいえません。このことは、今後リターンの分布の話をするときに書く予定です。
3-2. ランダムさの尺度 その２
下のグラフを比較してください。
図2：グラフ２(再掲)
図3：グラフ３
グラフ２とグラフ３は形状は同じようですが、数値の大きさが違います。グラフ２では-3～3くらいですが、グラフ３は、-1～1くらいの間の数値がランダムに発生しています。
発生している数値の大きさが違いますね。ただし、前提条件としてどちらも平均を取るとほぼ０となります。
では、この大きさを簡単に表す尺度を考えて見ましょう。
平均値は、どちらも０となってしまうのでダメですね。
どうしましょうか？
どこからか、声が聞こえてきます。
棒グラフの数値でなく、
棒グラフの長さそのもの（絶対値）の平均値を取ればよいのでは？
良い線いってます。これも正解の一つです。長さなので数値の絶対値の平均を計算することになります。絶対値とは簡単に言うと例えば「-10も10も長さの大きさを“10”」と見なすことです。-Xであれば、絶対値は“X”になります。単純に言えば、ここではマイナスを取れば良いだけです。
そこで、下の図のように原数値である水色の値がマイナスの場合は、ひっくり返えします(赤)。そして、その値の平均をとります。
図4
計算してみましょう。（絶対値とは、プラスの数値はそのまま、マイナスの数値はマイナスを取った数値に変換した値です。）
グラフ１では、 １．００
グラフ２では、 ０．８０
グラフ３では、 ０．２７
となりました。グラフ２はグラフ３の約３倍の数値ですね。
これを平均偏差といいます。平均的には毎日の数値の大きさがどのくらいあるのかを示します。
これらのグラフが為替のリターンとすれば、グラフ２の通貨ペアは、グラフ３の通貨ペアよりも３倍程度良く動くと言うことが出来ます。
平均偏差を使うことによって、通貨ペアのランダムさの尺度を数値化することができました。これがまず一つ目です。
（平均偏差は正確には平均値との差の絶対値の平均値ですが、そんな野暮なことはここでは言いたくありません。)
ただし、平均偏差は取り扱いが難しいので、普通は別の尺度をもちいます。
3-3. ランダムさの尺度 その３
もうひとつの尺度を考えて見ましょう。これは、ちょっと一ひねりした感じをうけます。各数値を2乗して平均をとります。
2乗するとマイナスの数値もプラスになりますので、平均したら０になってしまうことはありません。(たとえば、-2を二乗すると４となります。)
例えば、“３、１、２”という三つの数字の群をそれぞれ二乗すると“９、１、４”です。
これの平均を取ると“（９+１+４）÷３＝４.６６６６６…”となります。
グラフ１、グラフ２、グラフ３で計算してみましょう。
グラフ１では、1.0 1.0
グラフ２では、1.0 1.0
グラフ３では、0.11 0.33
となりました。左の数値は分散といいます。
ところで右側にも変な数字が縦に並んでますよね？
実はこれは分散に平方根（√ ）をとったものなんです。
分散の平方根（√ ）を取ったこの値を標準偏差(右の数値)といいます。
分散では2乗して平均を取っているので、標準偏差は「平方根（√ ）をとって大きさを元のレベルに戻している数値」と考えてください。
先ほど例えで言うと“３、１、２”の分散は“（９+１+４）÷３＝４.６６６６６…”でした。
なので標準偏差は√４.６６６６６…となり、計算すると２.１６０２４…となります。
（※ここでも、平均からの偏差の二乗平均だとか、母分散だとか、標本分散だとかの野暮なことは言いたくありません。平均、分散について詳しく知りたい方は統計学の入門書などを読んでみて下さい。ただし、金融でこの辺りを厳密にやり始めると、複雑な話になるので、こんな感じなんだ、ぐらいに思っておけば良いでしょう。）
皆さんおなじみのボラティリティとは、一般には、この標準偏差のことで す。また、多くの場合、この標準偏差の年率換算値をボラティリティと 言ったりもします。(注1
分散や標準偏差は、数学的に非常に扱いやすいので通常はこの尺度を用います。
ついに、標準偏差(ボラティリティ)に到達しました。
かすかにポートフォリオ理論がみえてきました。これから、分散や標準偏差が大活躍します。
一旦、まとめます。
為替の標準偏差とは、
為替リターンの２乗を平均して平方根を取ったもの (注2）
です。これは重要ですので覚えてください。
（注1）年率換算値と、その換算の方法については、発展編の12.√Tルールで詳しく解説します。
(注2)本来の定義は、リターンの平均値からの差の２乗ですが、平均値を０と仮定すればこれでも良いことになります。
03. 標準偏差を計算してみようへつづく
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第二章 発展編
第三章 実戦編  以下、続きはブログﾞで連載中
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